Persamaan
Linier
Persamaan
linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian
konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan
matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem
koordinat Kartesius.
Contoh grafik dari suatu persamaan linear dengan nilai m=0,5 dan
b=2 (garis merah)
Bentuk
umum untuk persamaan linear adalah
Dalam
hal ini, konstanta m akan menggambarkan gradien garis, dan konstanta b
merupakan titik potong garis dengan sumbu-y. Persamaan lain, seperti x3,
y1/2, dan xy bukanlah persamaan linear.
Contoh
Contoh sistem persamaan linear dua variabel:
,
,
Bentuk
Umum
dimana
konstanta A dan B bila dijumlahkan, hasilnya bukan angka nol. Konstanta
dituliskan sebagai A ≥ 0, seperti yang telah disepakati ahli matematika
bahwa konstanta tidak boleh sama dengan nol. Grafik persamaan ini bila
digambarkan, akan menghasilkan sebuah garis lurus dan setiap garis dituliskan
dalam sebuah persamaan seperti yang tertera diatas. Bila A ≥ 0, dan x
sebagai titik potong, maka titik koordinat-xadalah ketika garis
bersilangan dengan sumbu-x (y = 0) yang digambarkan dengan rumus -c/a.
Bila B≥ 0, dan y sebagai titik potong, maka titik koordinat- y
adalah ketika garis bersilangan dengan sumbu-y (x = 0), yang digambarkan
dengan rumus -c/b.
Bentuk
standar
dimana,
A dan B jika dijumlahkan, tidak menghasilkan angka nol dan A
bukanlah angka negatif. Bentuk standar ini dapat dirubah ke bentuk umum, tapi
tidak bisa diubah ke semua bentuk, apabila A dan B adalah nol.
Bentuk
titik potong gradien
Sumbu-y
dimana
m merupaka gradien dari garis persamaan, dan titik koordinat y adalah
persilangan dari sumbu-y. Ini dapat digambarkan dengan x = 0,
yang memberikan nilai y = b. Persamaan ini digunakan untuk mencari
sumbu-y, dimana telah diketahui nilai dari x. Y dalam rumus
tersebut merupakan koordinat y yang anda taruh di grafik. Sedangkan X
merupakan koordinat x yang anda taruh di grafik.
Sumbu-x
dimana
m merupakan gradien dari garis persamaan, dan c adalah titik potong-x,
dan titik koordinat x adalah persilangan dari sumbu-x. Ini dapat
digambarkan dengan y = 0, yang memberikan nilai x = c. Bentuk y/m
dalam persamaan sendiri berarti bahwa membalikkan gradien dan mengalikannya
dengan y. Persamaan ini tidak mencari titik koordinat x, dimana
nilai y sudah diberikan.
Sistem
persamaan linear lebih dari dua variabel
Sebuah persamaan linear bisa lebih
dari dua variabel, seperti berikut ini:
dimana
dalam bentuk ini, digambarkan bahwa a1 adalah koefisien, x
dan n merupakan variabel dan b adalah konstanta.
SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
A. Pengertian persamaan linear dua variabel
Persamaan linear dua variabel ialah
persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat/derajat tiap-tiap
variabelnya sama dengan satu.
Bentuk Umum PLDV : ax + by = c x dan y disebut variabel
Bentuk Umum PLDV : ax + by = c x dan y disebut variabel
B. Sistem persamaan linear dua
variable (SPLDV)
Sistem persamaan linear dua variable
adalah dua persamaan linear dua variable yang
mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian.
Bentuk umum SPLDV :
ax + by = c px + qy = r dengan x , y disebut variabel a, b, p, q disebut koeifisien c , r disebut konstanta.
Penyelesaian sistem persamaan linear
dua variable (SPLDV)
Cara penyelesaian SPLDV dapat
dilakukan dengan dua cara yaitu :
1. Metode Substitusi
1. Metode Substitusi
Menggantikan satu variable dengan
variable dari persamaan yang lain
contoh : Carilah penyelesaian sistem persamaan x + 2y = 8 dan 2x – y = 6
jawab : Kita ambil persamaan pertama yang akan disubstitusikan yaitu x + 2y = 8
Kemudian persamaan tersebut kita ubah menjadi x = 8 – 2y,
Kemudian persamaan yang diubah tersebut disubstitusikan ke persamaan
contoh : Carilah penyelesaian sistem persamaan x + 2y = 8 dan 2x – y = 6
jawab : Kita ambil persamaan pertama yang akan disubstitusikan yaitu x + 2y = 8
Kemudian persamaan tersebut kita ubah menjadi x = 8 – 2y,
Kemudian persamaan yang diubah tersebut disubstitusikan ke persamaan
2x – y = 6 menjadi
: 2 (8 – 2y) – y = 6 ; (x persamaan kedua
menjadi x = 8 – 2y)
16
– 4y – y = 6
16 – 5y = 6
-5y = 6 – 16
-5y = -10
5y = 10
y = 2
16 – 5y = 6
-5y = 6 – 16
-5y = -10
5y = 10
y = 2
masukkan
nilai y=2 ke dalam salah satu persamaan :
x
+ 2y = 8
x + 2. 2 = 8
x + 4 = 8
x = 8 – 4
x = 4
x + 2. 2 = 8
x + 4 = 8
x = 8 – 4
x = 4
jadi penyelesaian sistem
persamaan tersebut adalah x = 4 dan y = 2.
Himpunan penyelesaiannya : HP = {4, 2}
Himpunan penyelesaiannya : HP = {4, 2}
2. Metode Eliminasi
Dengan cara menghilangkan salah satu variable x atau y.
contoh :
Selesaikan soal di atas dengan cara eliminasi:
Jawab ;
Dengan cara menghilangkan salah satu variable x atau y.
contoh :
Selesaikan soal di atas dengan cara eliminasi:
Jawab ;
x
+ 2y = 8
2x – y = 6
2x – y = 6
(i) mengeliminasi variable x
x + 2y = 8 | x 2 | –> 2x + 4y = 16
2x – y = 6 | x 1 | –> 2x - y = 6 - ………*
5y = 10
y = 2
masukkan nilai y = 2 ke dalam suatu persamaan
x + 2 y = 8
x + 2. 2 = 8
x + 4 = 8
x = 8 – 4
x = 4
HP = {4, 2}
(ii) mengeliminasi variable y
x + 2y = 8 | x 1 | –> x + 2y = 8
2x – y = 6 | x 2 | –> 4x – 2y = 12 + ……*
5x = 20
x = 4
masukkan nilai x = 4 ke dalam suatu persamaan
x + 2 y = 8
4 + 2y = 8
2y = 8 – 4
2y = 4
y = 2
4 = 2
HP = {4, 2}
x + 2y = 8 | x 1 | –> x + 2y = 8
2x – y = 6 | x 2 | –> 4x – 2y = 12 + ……*
5x = 20
x = 4
masukkan nilai x = 4 ke dalam suatu persamaan
x + 2 y = 8
4 + 2y = 8
2y = 8 – 4
2y = 4
y = 2
4 = 2
HP = {4, 2}
* catatan nilai + atau – digunakan untuk menghilangkan/eliminasi salah satu variable agar menjadi 0
Contoh (i) yang dieliminasi adalah x :
x dalam persamaan satu + dan persamaan dua + digunakan tanda -
(ii) yang dieliminasi adalah y :
y dalam persamaan satu +, persamaan dua - atau sebaliknya digunakan tanda +
C. Penggunaan sistem persamaan linear dua variable
Contoh: Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000, kemudian apabila membeli 5 buah mangga dan 4 buah jeruk adalah Rp11.500,-
Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli 4 buah mangga dan 5 . buah jeruk ?
Contoh: Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000, kemudian apabila membeli 5 buah mangga dan 4 buah jeruk adalah Rp11.500,-
Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli 4 buah mangga dan 5 . buah jeruk ?
Jawab
:
Dalam menyelesaikan persoalan cerita seperti di atas diperlukan penggunaan model matematika.
Misal: harga 1 buah mangga adalah x dan harga 1 buah jeruk adalah y
Maka model matematika soal tersebut di atas adalah :
2x + 3 y = 6000
5x + 4 y = 11500
Ditanya 4 x + 5 y = ?
Kita eliminasi variable x :
2x + 3 y = 6000 | x 5 | = 10x + 15 y = 30.000
5x + 4 y = 11500 | x 2 | = 10x + 8 y = 23.000 - ( karena x persamaan 1 dan 2 +)
7y = 7000
y = 1000
masukkan ke dalam suatu persamaan :
2x + 3 y = 6000
2x + 3 . 1000 = 6000
2x + 3000 = 6000
2x = 6000 – 3000
2x = 3000
x = 1500
didapatkan x = 1500 (harga sebuah mangga) dan y = 1000 (harga sebuah jeruk)
sehingga uang yang harus dibayar untuk membeli 4 buah mangga dan 5 buah jeruk
adalah 4 x + 5 y = 4. 1500 + 5. 1000
= 6000 + 5000 = Rp. 11.000,-
Dalam menyelesaikan persoalan cerita seperti di atas diperlukan penggunaan model matematika.
Misal: harga 1 buah mangga adalah x dan harga 1 buah jeruk adalah y
Maka model matematika soal tersebut di atas adalah :
2x + 3 y = 6000
5x + 4 y = 11500
Ditanya 4 x + 5 y = ?
Kita eliminasi variable x :
2x + 3 y = 6000 | x 5 | = 10x + 15 y = 30.000
5x + 4 y = 11500 | x 2 | = 10x + 8 y = 23.000 - ( karena x persamaan 1 dan 2 +)
7y = 7000
y = 1000
masukkan ke dalam suatu persamaan :
2x + 3 y = 6000
2x + 3 . 1000 = 6000
2x + 3000 = 6000
2x = 6000 – 3000
2x = 3000
x = 1500
didapatkan x = 1500 (harga sebuah mangga) dan y = 1000 (harga sebuah jeruk)
sehingga uang yang harus dibayar untuk membeli 4 buah mangga dan 5 buah jeruk
adalah 4 x + 5 y = 4. 1500 + 5. 1000
= 6000 + 5000 = Rp. 11.000,-
D. Penyelesaian sistem persamaan linear dua variable dengan menggunakan
grafik garis lurus.
Penyelesaiannya
didapatkan dengan menggunakan titik potong antara dua garis lurus tersebut pada
grafik garis lurus.
Contoh : kita ambil contoh soal di atas
Tentukan penyelesaian dari x + 2y = 8 dan 2x – y = 6
Contoh : kita ambil contoh soal di atas
Tentukan penyelesaian dari x + 2y = 8 dan 2x – y = 6
Langkah-langkah penyelesaiannya :
1. Menentukan titik-titik potong pada sumbu x dan sumbu y dari kedua persamaan
1. Menentukan titik-titik potong pada sumbu x dan sumbu y dari kedua persamaan
Persamaan
(1)
x + 2y = 8
titik potong dengan sumbu x apabila y = 0
x + 2y = 8
x + 2.0 = 8
x = 8
titik potong dengan sumbu y apabila x = 0
x + 2y = 8
0 + 2.y = 8
2y = 8
y = 4
x + 2y = 8
titik potong dengan sumbu x apabila y = 0
x + 2y = 8
x + 2.0 = 8
x = 8
titik potong dengan sumbu y apabila x = 0
x + 2y = 8
0 + 2.y = 8
2y = 8
y = 4
Persamaan
(2)
2x – y = 6
titik potong dengan sumbu x apabila y = 0
2x - y = 6
2x – .0 = 6
2x = 6
x = 3
titik potong dengan sumbu y apabila x = 0
2x - y = 6
0 - .y = 6
-y = 6
y = -6
2x – y = 6
titik potong dengan sumbu x apabila y = 0
2x - y = 6
2x – .0 = 6
2x = 6
x = 3
titik potong dengan sumbu y apabila x = 0
2x - y = 6
0 - .y = 6
-y = 6
y = -6
No comments:
Post a Comment